terça-feira, 3 de janeiro de 2012

Propriedades das Proporções




Propriedades das proporções


1ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,
assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
        
Demonstração

        Considere as proporções:
  
Adicionando 1 a cada membro obtemos:

  
       Exemplo:
  • Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.
     
  • Solução:
           
            Assim:
           
            x+y = 84   =>   x = 84-y   =>    x = 84-48   =>   x=36.
            Logo, x=36 e y=48.

       

2ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,
assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

        Demonstração
 
        Considere as proporções:
  
Subtraindo 1 a cada membro obtemos:

  
 
(Mult. os 2 membros por -1)
Exemplo:
  • Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção .
    Solução:
            Pela 2ª propriedade temos que:
           
            x-y = 18   =>   x=18+y   =>   x = 18+12    =>   x=30.
  
         Logo, x=30 e y=12.

        3ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes,
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
        
Demonstração
        
Considere a proporção:
       
        Permutando os meios, temos:
       
        Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:
       
        Permutando os meios, finalmente obtemos:

        4ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes,
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
        
Demonstração

        Considere a proporção:
       
        Permutando os meios, temos:
       
        Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:
       
        Permutando os meios, finalmente obtemos:
      
Exemplo:
  • Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção .
    Solução:
            Pela 4ª propriedade, temos que:
           
           

        5ª propriedade:

Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes,
assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.
        
Demonstração

        Considere a proporção:
       
        Multiplicando os dois membros por , temos:
           
        Assim:
           
        Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo:
       


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